leetcode 28.找出字符串中第一个匹配项的下标

问题描述

给你两个字符串 `haystack` 和 `needle` ，请你在 `haystack` 字符串中找出 `needle` 字符串的第一个匹配项的下标（下标从 0 开始）。如果 `needle` 不是 `haystack` 的一部分，则返回 `-1` 。

示例 1：

输入：haystack = “sadbutsad”, needle = “sad”
输出：0
解释：“sad” 在下标 0 和 6 处匹配。
第一个匹配项的下标是 0 ，所以返回 0 。

示例 2：

输入：haystack = “leetcode”, needle = “leeto”
输出：-1
解释：“leeto” 没有在 “leetcode” 中出现，所以返回 -1 。

提示：

1 <= haystack.length, needle.length <= 104
haystack 和 needle 仅由小写英文字符组成

核心思路

记字符串 haystack 的长度为 n，字符串 needle 的长度为 m。

我们记字符串 str=needle+#+haystack，即将字符串 needle 和 haystack 进行拼接，并用不存在于两串中的特殊字符 # 将两串隔开，然后我们对字符串 str 求前缀函数。

因为特殊字符 # 的存在，字符串 str 中 haystack 部分的前缀函数所对应的真前缀必定落在字符串 needle 部分，真后缀必定落在字符串 haystack 部分。当 haystack 部分的前缀函数值为 mmm 时，我们就找到了一次字符串 needle 在字符串 haystack 中的出现（因为此时真前缀恰为字符串 needle）。

实现时，我们可以进行一定的优化，包括：

我们无需显式地创建字符串 str。
为了节约空间，我们只需要顺次遍历字符串 needle、特殊字符 # 和字符串 haystack 即可。
也无需显式地保存所有前缀函数的结果，而只需要保存字符串 needle 部分的前缀函数即可。
特殊字符 # 的前缀函数必定为 0，且易知 π(i)≤m（真前缀不可能包含特殊字符 #）。
这样我们计算 π(i) 时，j=π(π(π(…)−1)−1)j 的所有的取值中仅有 π(i−1) 的下标可能大于等于 m。我们只需要保存前一个位置的前缀函数，其它的 j 的取值将全部为字符串 needle 部分的前缀函数。
我们也无需特别处理特殊字符 #，只需要注意处理字符串 haystack 的第一个位置对应的前缀函数时，直接设定 j 的初值为 0 即可。
这样我们可以将代码实现分为两部分：

第一部分是求 needle 部分的前缀函数，我们需要保留这部分的前缀函数值。
第二部分是求 haystack 部分的前缀函数，我们无需保留这部分的前缀函数值，只需要用一个变量记录上一个位置的前缀函数值即可。当某个位置的前缀函数值等于 m 时，说明我们就找到了一次字符串 needle在字符串 haystack 中的出现（因为此时真前缀恰为字符串 needle，真后缀为以当前位置为结束位置的字符串 haystack 的子串），我们计算出起始位置，将其返回即可。

实现要点

对于长度为 m 的字符串 s，其前缀函数 π(i)(0≤i<m) 表示 s 的子串 s[0:i] 的最长的相等的真前缀与真后缀的长度。特别地，如果不存在符合条件的前后缀，那么 π(i)=0。其中真前缀与真后缀的定义为不等于自身的的前缀与后缀。

如何求解前缀函数

长度为 m 的字符串 s 的所有前缀函数的求解算法的总时间复杂度是严格 O(m) 的，且该求解算法是增量算法，即我们可以一边读入字符串，一边求解当前读入位的前缀函数。

为了叙述方便，我们接下来将说明几个前缀函数的性质：

π(i)≤π(i−1)+1。
- 依据 π(i) 定义得：s[0:π(i)−1]=s[i−π(i)+1:i]。
- 将两区间的右端点同时左移，可得：s[0:π(i)−2]=s[i−π(i)+1:i−1]。
- 依据 π(i−1) 定义得：π(i−1)≥π(i)−1，即 π(i)≤π(i−1)+1。
如果 s[i]=s[π(i−1)]，那么 π(i)=π(i−1)+1。
- 依据 π(i−1) 定义得：s[0:π(i−1)−1]=s[i−π(i−1):i−1]。
- 因为 s[π(i−1)]=s[i]，可得 s[0:π(i−1)]=s[i−π(i−1):i]。
- 依据 π(i) 定义得：π(i)≥π(i−1)+1，结合第一个性质可得 π(i)=π(i−1)+1。

这样我们可以依据这两个性质提出求解 π(i) 的方案：找到最大的 j，满足 s[0:j−1]=s[i−j:i−1]，且 s[i]=s[j]（这样就有 s[0:j]=s[i−j:i]，即 π(i)=j+1）。

注意这里提出了两个要求：

j 要求尽可能大，且满足 s[0:j−1]=s[i−j:i−1]；
j 要求满足 s[i]=s[j]。

由 π(i−1) 定义可知：

s[0:π(i−1)−1]=s[i−π(i−1):i−1] （1）

那么 j=π(i−1) 符合第一个要求。如果 s[i]=s[π(i−1)]，我们就可以确定 π(i)。

否则如果 s[i]≠s[π(i−1)]，那么 π(i)≤π(i−1)，因为 j=π(i)−1，所以 j < π(i−1)，于是可以取 (1) 式两子串的长度为 j 的后缀，它们依然是相等的：s[π(i−1)−j:π(i−1)−1]=s[i−j:i−1]。

当 s[i]≠s[π(i−1)] 时，我们可以修改我们的方案为：找到最大的 j，满足 s[0:j−1]=s[π(i−1)−j:π(i−1)−1]，且 s[i]=s[j]（这样就有 s[0:j]=s[π(i−1)−j:π(i−1)]，即 π(i)=π(i−1)+1）。

注意这里提出了两个要求：

j 要求尽可能大，且满足 s[0:j−1]=s[π(i−1)−j:π(i−1)−1]；
j 要求满足 s[i]=s[j]。

由 π(π(i−1)−1) 定义可知 j=π(π(i−1)−1) 符合第一个要求。如果 s[i]=s[π(π(i−1)−1)]，我们就可以确定 π(i)。

此时，我们可以发现 j 的取值总是被描述为 π(π(π(…)−1)−1) 的结构（初始为 π(i−1)）。于是我们可以描述我们的算法：设定 π(i)=j+1，j 的初始值为 π(i−1)。我们只需要不断迭代 j（令 j 变为 π(j−1)）直到 s[i]=s[j] 或 j=0 即可，如果最终匹配成功（找到了 j 使得 s[i]=s[j]），那么 π(i)=j+1，否则 π(i)=0。

code

class Solution {
public:
    int strStr(string haystack, string needle) {
        int n = haystack.size(), m = needle.size();
        if (m == 0) {
            return 0;
        }
        vector<int> pi(m);
        for (int i = 1, j = 0; i < m; i++) {
            while (j > 0 && needle[i] != needle[j]) {
                j = pi[j - 1];
            }
            if (needle[i] == needle[j]) {
                j++;
            }
            pi[i] = j;
        }
        for (int i = 0, j = 0; i < n; i++) {
            while (j > 0 && haystack[i] != needle[j]) {
                j = pi[j - 1];
            }
            if (haystack[i] == needle[j]) {
                j++;
            }
            if (j == m) {
                return i - m + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
};